/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje/Wymierna/Różne

Zadanie nr 4175783

Funkcja f jest określona wzorem  x2(2√ 2x−1) f(x ) = --8x2−1--- . Wtedy dla argumentu  √ -- √ -- x = 2− 3 wartość funkcji f jest równa
A) √-1-- 3−1 B) − 1 C) 1 D) √-1-- 3−2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku możemy rozłożyć ze wzoru na różnicę kwadratów

 2 √ -- 2 √ -- 2 f(x) = x-(2--2x-−-1-)= --√--x-(2--2x-−√-1)----- = -√-x-----. 8x2 − 1 (2 2x − 1 )(2 2x + 1) 2 2x + 1

Interesująca nas wartość jest więc równa

 (√ -- √ --) √ -- √ --2 √ -- √ -- f 2 − 3 = --√-(-√2-−--√3)----- = 2-−-2√--6+-3-= 5-−-2√-6-= 1. 2 2( 2− 3)+ 1 4 − 2 6+ 1 5 − 2 6

Sposób II

Zauważmy najpierw, że jeżeli x = √ 2-− √ 3- , to

 2 √ -- √ -- √ -- x = 2−√ -2√ 6+ 3√ =-5 − 2 6 √ -- 2 2x − 1 = 2 2( 2 − 3) − 1 = 3 − 2 6.

Mamy zatem

 √ -- √ -- √ -- (√ -- √ -) x 2(2 2x − 1) (5− 2 6)(3 − 2 6) f 2− 3 = ------2------- = ----------√----------= 8x − 1- -- 8 (5− 2 6)− 1-- 1 5− 10√ 6− 6√ 6 + 24 39 − 16√ 6 = ------------√---------- = -------√---= 1. 40− 16 6 − 1 39 − 16 6

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF
spinner