/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Deltoid

Zadanie nr 2934161

W deltoidzie ABCD dane są |AB | = 4 , |BC | = 5 oraz |∡ABC | = |∡BCD | = |∡ADC | . Oblicz długość przekątnej AC tego deltoidu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku – ponieważ |AB | ⁄= |BC | osią symetrii deltoidu musi być przekątna AC . W szczególności ta przekątna jest dwusieczną kąta BCD .

PIC

Oznaczmy ∡ADC = ∡ABC = ∡BCD = 2α oraz AC = d .

Sposób I

Dorysujmy dwusieczną DE i niech DE = x . Trójkąt DEC jest równoramienny, więc CE = DE = x . Ponadto

∡AED = 180∘ − ∡DEC = α + α = 2α .

To oznacza, że trójkąty AED i ADC mają równe kąty, więc są podobne. Z tego podobieństwa mamy

{ AE- = AD- AD AC DAED- = DACC- { d−x 4 -4--= d x = 5 4 d

Z drugiej równości mamy 20 x = d i wtedy z pierwszej równości mamy

16 d − x = --- d d − 20-= 16- / ⋅d d d d2 = 3 6 ⇒ d = 6.

Sposób II

Spróbujemy obliczyć długość przekątnej AC z twierdzenia cosinusów, ale najpierw obliczymy co sα . Z twierdzenia sinusów w trójkącie ACD mamy

4 d ----- = ------ sinα sin 2α --4-- = -----d------ sinα 2 sinα cos α d co sα = -. 8

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów

AD 2 = CA 2 + CD 2 − 2CA ⋅CD cosα 1 6 = d2 + 25 − 2d ⋅5⋅ d- 8 1-2 4d = 9 ⇒ d = 6.

 
Odpowiedź: AC = 6

Wersja PDF