Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4883249

Na okręgu o promieniu 5 opisano deltoid o obwodzie 60. Oblicz pole deltoidu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jak to często bywa w zadaniach z geometrii, najważniejszy jest rysunek.


PIC


Jeżeli połączymy środek okręgu wpisanego w czworokąt z jego wierzchołkami, to otrzymamy cztery trójkąty AOD ,DOC ,COB ,BOA , które w sumie dają cały deltoid. Zatem wystarczy obliczyć sumę ich pól. To nie jest jednak trudne, bo wysokością każdego z nich jest promień okręgu wpisanego. Zatem

 1 1 1 1 PABCD = PAOD + PDOC + PCOB + PBOA = --a⋅5 + -b⋅ 5+ -a ⋅5+ -b ⋅5 = 2 2 2 2 = 1-(2a+ 2b)⋅5 = 1-⋅60 ⋅5 = 150 . 2 2

Po drodze skorzystaliśmy z podanego obwodu czworokąta.

Dwie uwagi. Po pierwsze wyprowadziliśmy wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu

P = pr,

gdzie p jest połową obwodu, a r jest promieniem okręgu wpisanego. Jeżeli znamy ten wzór, to oczywiście mogliśmy od razu z niego skorzystać.

Druga uwaga: w rozwiązaniu nie było ważne, że czworokąt jest deltoidem.  
Odpowiedź: 150

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!