/Szkoła średnia/Zadania testowe/Funkcje - wykresy/Homografia

Zadanie nr 4002318

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y = f(x) , której dziedziną jest zbiór D = (− ∞ ,3)∪ (3 ,+∞ ) .

PIC

Równanie 3|2− f(x)| + p = 0 z niewiadomą x ma dokładnie dwa rozwiązania tylko wtedy, gdy
A) p = 0 B) p = 0 lub p = 2 C) p < 0 D) p > 0

Rozwiązanie

Jeżeli p > 0 to równanie jest oczywiście sprzeczne (bo wtedy lewa strona równania jest dodatnia). Musi więc być p ≤ 0 .

Sposób I

Spróbujmy rozwiązać dane równanie – korzystamy z tego, że |2 − f(x)| = |f(x )− 2 | .

3|2− f (x)|+ p = 0 3|f(x)− 2| = −p / 3 p- |f (x)− 2| = − 3 p p f(x) − 2 = − -- lub f(x) − 2 = -- p 3 p 3 f(x) = 2 − -- lub f(x) = 2+ -. 3 3

Widać teraz, że równanie ma zawsze dwa rozwiązania gdy p 3 ⁄= 0 , czyli dla p < 0 . Dla p = 0 równanie jest sprzeczne.

Sposób II

Szkicujemy wykres funkcji y = |2− f(x)| = |f(x) − 2| . W tym celu przesuwamy wykres y = f(x) o 2 jednostki w dół i odbijamy część znajdującą się poniżej osi Ox do góry.

PIC

Z wykresu widać, że równanie |f(x )− 2 | = − p 3 ma dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy p − 3 > 0 .  
Odpowiedź: C

Wersja PDF