Zadanie nr 9585528

W trójkącie równobocznym bok jest o 6 cm dłuższy od wysokości trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Skorzystamy ze wzorów na wysokość i pole trójkąta równobocznego:

√ -- h = a--3- 2 a 2√ 3- P = ------. 4

Z treści zadania i ze wzoru na wysokość mamy równanie

h = a− 6 √ -- a--3- 2 = a − 6 / ⋅2 √ -- a 3 = 2a −√12- √ -- 1 2 = a(2 − 3) / : (2− 3) √ -- √ -- --1-2--- ---12(2-+---3-)---- 12(2+----3)- √ -- a = √ --= √ -- √ -- = 4− 3 = 24 + 1 2 3. 2 − 3 (2− 3)(2+ 3)

Obwód tego trójkąta jest więc równy

√ -- Ob = 3a = 72 + 36 3.

Pole trójkąta możemy policzyć na dwa sposoby:

Sposób I

Korzystamy z podanego wcześniej wzoru

-- -- -- a2√ 3 144(2 + √ 3)2√ 3 √ -- √ -- P = ------= -----------------= 36(4 + 4 3 + 3) 3 = 4 √ --√ --4 √ -- = 36(7+ 4 3) 3 = 252 3 + 432.

Sposób II

Możemy też skorzystać ze wzoru:

√ -- √ -- P = 1ah = 1a(a − 6) = 1(24 + 12 3 )(18+ 12 3) = 2 2√ -- √2-- √ -- √ -- √ -- = (1 2+ 6 3)(18 + 12 3) = 216+ 108 3 + 144 3+ 216 = 43 2+ 2 52 3.

Odpowiedź: Pole: √ -- 252 3 + 432 cm 2 , obwód: 72 + 36 √ 3 cm