Zadanie nr 2918068

Wykaż, że π- π- 3 π- 3 sin 9 − sin 3 = 4sin 9 .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

sin (α + β) = sin αco sβ + sinβ cos α sin 2α = 2 sinα cosα 2 cos 2α = 1 − 2 sin α

Sposób I

Korzystamy z powyższych wzorów

( ) π 3 π 2π π 2 π π π 2π sin --= sin--- = sin ---+ -- = sin--- cos --+ sin --co s--- = 3 9 9 9 ( 9 9 ) 9 9 = 2sin π-co s π-co s π + sin π 1 − 2 sin 2 π = 9 9 9 9 9 = 2sin π-co s2 π-+ sin π- − 2 sin 3 π = 9 9 9 9 π-( 2 π-) π- 3 π- = 2sin 9 1− sin 9 + sin 9 − 2sin 9 = π 3 π π 3 π π 3 π = 2sin --− 2sin --+ sin --− 2sin --= 3sin --− 4sin --. 9 9 9 9 9 9

Zatem rzeczywiście

π- π- 3 π- 3 sin 9 − sin 3 = 4sin 9 .

Sposób II

Jeżeli powyższy rachunek wygląda na trochę przytłaczający, to możemy jego zapis trochę uprościć. Jeżeli oznaczymy α = π- 9 , to musimy wykazać, że

sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3α.

Przekształcamy lewą stronę tak samo jak w pierwszym sposobie.

sin 3α = sin(2α + α ) = sin 2α cosα + sin αco s2α = 2 2 = 2 sin α cos α + sin α(1− 2sin α) = = 2 sin α(1 − sin2α )+ sin α − 2sin3 α = 3 sin α − 4 sin 3α.