Zadanie nr 3778498

Udowodnij, że jeżeli α+ β+ γ = π , to

2 2 2 cos α + co s β + cos γ + 2 cosα cosβ cos γ = 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy udowodnić, że

2 2 2 2 cos α + cos β = 1 − cos γ− 2cos αco sβ cosγ = sin γ − 2 cosα cos βco sγ.

Wiemy, że γ = π − (α + β) , więc

cos γ = co s(π − (α + β )) = − cos(α + β ) = − cos αco sβ + sin αsin β sin γ = sin (π − (α + β)) = sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α

Mamy zatem

sin 2γ − 2 cosα cosβ cos γ = 2 = (sinα cos β + sin β cos α) − 2cos αco sβ (− cos αcos β + sinα sinβ ) = = sin2α cos2 β+ 2sin αco sα sin β cosβ + sin2 βco s2α+ + 2cos2 αco s2β − 2 sin α cosα sin β cosβ = 2 2 2 2 2 2 2 2 = (sin α + cos α)co s β + (sin β + co s β) cos α = cos β + co s α.

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzorów

cos 2x = 2 cos2x − 1 x+ y x − y cosx + co sy = 2 cos -----co s------. 2 2

Mamy zatem

2 2 2 1 2 cos α + co s β + cos γ = 2(1 + cos2 α+ 1+ cos2β )+ cos γ = = 1+ 1(co s2α + cos 2β) + cos2 γ = 1 + cos(α + β )cos(α − β )+ cos2γ = 2 = 1+ cos(π − γ )co s(α − β)+ cos2γ = 1− cosγ [cos(α − β )− co sγ] = = 1− cosγ [cos(α − β )− (co s(π − (α + β)))] = 1 − cos γ [co s(α− β)+ cos& (α−--β)-+-(α-+-β)- (α−--β)-−-(α-+-β)- = 1− cosγ ⋅2 cos 2 cos 2 = 1− 2cos αc osβ cosγ .