Zadanie nr 4457554

Wykaż, że

3π-- 1−--cos-5--= -1--. sin 3π- tg π- 5 5

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów

sin 2α = 2sin αco sα cos2α = 1− 2sin2 α.

Przekształcamy lewą stronę tożsamości, którą mamy udowodnić

3π- 2 3π- 2 3π 3π- 1-−-cos-5--= 1−--(1−--2sin--10)-= --2-sin--10---= sin-10-= sin 3π- 2sin 3π-cos 3π-- 2sin 3πco s 3π cos 3π- 5 10 ( 10 ) 10 10 10 = tg 3π- = tg π-− 2π- = -1--. 1 0 2 10 tg π5

Sposób II

Przekształcamy tożsamość w sposób równoważny.

1 − co s 3π cos π- ---------5-= --1π-= ----5π- sin 3π5- tg 5- sin 5- π π 3π 3 π π sin -- − sin --cos ---= sin--- cos -- 5 5 5 5 5 sin π-= sin 3-π cos π-+ sin π-co s 3π 5 5 5 5 5

Korzystamy teraz ze wzoru na sinus sumy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.

Mamy zatem

( ) sin 3π-co s π + sin π cos 3π-= sin 3π- + π- = 5 5 5 5 5 5 4 π ( π ) π = sin --- = sin π − -- = sin --. 5 5 5