/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Tożsamości

Zadanie nr 8668505

Wykaż, że

2 2 sin (β + α)sin(β − α ) = sin β − sin α.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy lewą stronę korzystając ze wzorów na sinus sumy/różnicy.

sin (β + α) sin (β − α) = (sinβ cos α+ sin α cosβ )(sinβ cos α− sin α cos� = (sinβ cos α)2 − (sin α cosβ )2 = 2 2 2 2 = sin β (1− sin α) − sin α (1− sin β) = = sin2β − sin2 α.

Sposób II

Przekształcamy prawą stronę korzystając ze wzorów na sumę/różnicę sinusów oraz ze wzoru na sin 2x .

sin 2β − sin2 α = (sinβ − sin α)(sinβ + sin α) = β − α β + α β + α β − α = 2 sin ------cos ------⋅2 sin ------co s------= ( 2 2 ) ( 2 2 ) β-−-α- β-−-α- β-+-α- β-+-α- = 2sin 2 cos 2 2 sin 2 co s 2 = = sin(β − α) sin (β+ α).
Wersja PDF