Zadanie nr 8881529

Wykaż, że

sin 4α cos2α cosα α ----------⋅ ----------⋅ ---------= tg--. 1+ cos4α 1+ cos2α 1+ cosα 2

Wyznacz dziedzinę tej tożsamości.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

2 co s2x = 2cos x− 1 1 + co s2x = 2cos2 x sin 2x = 2sinx cos x.

Przekształcamy lewą stronę tożsamości (zamieniamy konsekwentnie kąty tak, aby na końcu wszędzie mieć ).

--sin-4α-- ⋅--cos-2α-- ⋅--cos-α-- = 1 + cos 4α 1 + cos 2α 1 + cos α 2 sin 2α cos 2α cos 2α cos α sin 2α c osα = ---2co-s22α--- ⋅1-+-cos-2α ⋅1-+-cos-α = 1-+-co-s2α ⋅ 1+-co-sα-= α α α = 2-sin-α-cosα-⋅ --cosα---= --sin-α-- = 2sin-2 co-s2-= sin-2-= tg α. 2 cos2α 1+ cosα 1 + cos α 2co s2 α2 cos α2 2

Musimy jeszcze ustalić jaka jest dziedzina powyższej tożsamości. Muszą być spełnione 4 warunki:

( || cos4α ⁄= − 1 |{ cos2α ⁄= − 1 ||| cosα ⁄= − 1 ( cos α ⁄= 0 2

(ostatni warunek określa dziedzinę tangensa z prawej strony tożsamości). Szkicujemy cosinusa.

Z wykresu odczytujemy, że

( ( π π || 4α ⁄= π + 2kπ || α ⁄= 4-+ k-2 |{ 2α ⁄= π + 2kπ |{ α ⁄= π-+ kπ ⇐ ⇒ 2 ||| α ⁄= π + 2k π ||| α ⁄= π + 2kπ ( α ⁄= π-+ kπ ( α ⁄= π + 2kπ 2 2

Odpowiedź: π- π- α ⁄= 4 + k 2 , π- α ⁄= 2 + kπ i α ⁄= π + 2kπ , k ∈ Z