/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Tożsamości

Zadanie nr 9370303

Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to 4 2 2 4 sin α + co s α = sin α+ cos α .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy lewą stronę równości korzystając z jedynki trygonometrycznej.

4 2 2 2 2 2 2 2 sin α+ cos α = (sin α) + cos α = (1 − cos α ) + co s α = 1 − 2co s2α + cos4 α+ cos2α = (1− cos2α) + cos4 α = sin2 α+ cos4α.

Sposób II

Równość którą mamy udowodnić możemy zapisać w postaci

sin4α − co s4 α = sin2 α− cos2α.

Przekształcamy lewą stronę korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów oraz z jedynki trygonometrycznej.

L = sin 4α − cos4α = (sin2α)2 − (cos2 α)2 = 2 2 2 2 2 2 = (sin α− cos α )(sin α + cos α ) = (sin α − cos α) = P
Wersja PDF