/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Wartość wyrażenia

Zadanie nr 5384455

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Kąt α jest ostry oraz 4 tg α = 3 . Oblicz sin α+ cosα .

Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od obliczenia wartości sinα i cosα .

-sin-α 4- 2 co sα = tg α = 3 / () 2 -sin--α = 16- co s2α 9 1 − co s2α 16 --co-s2α-- = 9-- 2 2 9 − 9 cos α = 16co s α 2 3 9 = 2 5cos α ⇒ cosα = 5.

Opuszczając kwadrat korzystaliśmy z tego, że cosα > 0 (bo α jest ostry). Obliczmy jeszcze sin α .

2 2 1 6 4 sin α = 1 − cos α = --- ⇒ sin α = --. 2 5 5

Teraz możemy obliczyć wartość podanego wyrażenia

3- 4- 7- sin α + cos α = 5 + 5 = 5 .

Sposób II

Wartości funkcji trygonometrycznych sinα i cos α mogliśmy też obliczyć z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 4x i 3x (żeby tangens był równy 43 ).

PIC

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ -------------- 2 2 √ ----2 c = (3x) + (4x) = 25x = 5x.

Zatem

sinα = 4x-= 4x-= 4- c 5x 5 3x- 3x- 3- cos α = c = 5x = 5 .

Wartość wyrażenia sin α + cos α liczymy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: 7 5

Wersja PDF