Zadanie nr 6596217

Wiedząc, że tg α+ -1- = 3 tg α , oblicz ∘ --------(---)-2 tg2 α+ -1- tgα .

Rozwiązanie

Sposób I

Podnosimy daną równość stronami do kwadratu.

( ) 2 tgα + -1-- = 9 tg α ( ) 2 tg2 α+ 2tgα ⋅ -1--+ --1- = 9 tg α tg α ( ) 2 tg2 α+ 2+ --1- = 9 tg α ( ) 2 tg2 α+ -1-- = 7. tg α

Sposób II

Przekształćmy daną równość

sin α cosα -----+ ----- = 3 cosα2 sinα sin--α-+-cos2-α- cosα sinα = 3 1 ----------= 3 cosα sinα cosα sinα = 1-. 3

Teraz przekształćmy kwadrat wyrażenia, które mamy obliczyć

2 2 4 4 -sin--α + c-os-α = sin-α-+-co-s-α-= co s2α sin 2α cos2 αsin2 α 2 2 2 2 2 1 − 2 7 = (sin--α-+-cos-α-)-−-2-sin-α-cos--α-= -----9 = -9= 7. co s2α sin2 α 19 19

Sposób III

Podstawmy t = tg α . Mamy wtedy

1 t+ --= 3 / ⋅t 2 t t + 1 = 3t 2 t − 3t + 1 = 0 Δ = 9 − 4 = 5 √ -- √ -- t = 3−----5- ∨ t = 3-+---5-. 2 2

Mamy więc

( ) 2 tg2α + --1- = t2 + 1- = tg α t2 ( √ -) 2 ( ) ( √ -) 2 ( √ --)2 3−----5- ---2---- 2 3-−---5- 3-+---5- = 2 + √ -- = 2 + 2 3− 5

lub

( ) ( ) ( ) 1 3+ √ 5- 2 ( 2 ) 2 3 + √ 5- 2 3 − √ 5- 2 t2 + --= -------- + ----√--- = -------- + -------- . t2 2 3+ 5 2 2

W każdym z przypadków mamy ten sam wynik

┌│ (------√--)-2---(-----√--)-2 ∘ ------√--------------√------ │∘ 3− 5 3+ 5 9− 2 5+ 5+ 9+ 2 5+ 5 √ -- -------- + -------- = ----------------------------= 7. 2 2 4

Odpowiedź: √ -- 7