Zadanie nr 8093168

Kąta jest ostry oraz 12 sin α − 5 cosα = 0 . Oblicz -cosα-- 1+ cosα .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy daną równość korzystając z jedynki trygonometrycznej.

12 sin α − 5 cosα = 0 12 sin α = 5cos α / ()2 2 2 144 sin α = 25co s α 144 (1− cos2α) = 25cos2 α 144 − 1 44cos2 α = 25 cos2α 2 144 = 169 cos α / : 169 2 144- cos α = 169 12 cosα = ± --. 13

Ponieważ jest kątem ostrym mamy stąd 12 cos α = 13 . Zatem

cosα 12 12 12 ---------= --13---= 13-= --. 1+ co sα 1 + 1123 2153 25

Sposób II

Zauważmy, że daną równość możemy zapisać w postaci

12sin α = 5 cosα sinα- = -5- cosα 12 -5- tgα = 12 .

Aby obliczyć cos α rysujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 i 12 i obliczamy z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej.

Liczymy

∘ ------------ √ --------- √ ---- BC = AB 2 + AC 2 = 144 + 25 = 169 = 13 .

Zatem AB 12 co sα = BC-= 13 i

12 12 --cosα---= --13---= 13-= 12. 1+ co sα 1 + 12 25 25 13 13

Odpowiedź: 12 25