/Szkoła średnia/Funkcje/Trygonometryczna/Wartość wyrażenia

Zadanie nr 8843561

Kąt α jest ostry oraz 12 tg α = 5 . Oblicz sin α+ cosα .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od wyliczenia wartości sin α i c osα .

sin-α- 12- 2 cosα = tgα = 5 /() 2 sin--α-= 144- cos2α 25 1− cos2α 144 --cos2α---= -25- 2 2 2 5− 25cos α = 14 4cos α 2 5 2 5 = 169 cos α ⇒ cos α = 1-3.

Opuszczając kwadrat korzystaliśmy z tego, że cosα > 0 (bo α jest ostry). Obliczmy jeszcze sin α .

2 2 14 4 1 2 sin α = 1 − cos α = ---- ⇒ sin α = ---. 16 9 1 3

Teraz możemy obliczyć wartość podanego wyrażenia

12- -5- 17- sin α + co sα = 13 + 13 = 13 .

Sposób II

Wartości funkcji trygonometrycznych sinα i cos α mogliśmy też obliczyć z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 12x i 5x (żeby tangens był równy 12 5 ).

PIC

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ --------------- √ ------ c = (12x)2 + (5x)2 = 169x2 = 1 3x.

Zatem

12x- 12x- 12- sin α = c = 13x = 13 5x 5x 5 cosα = ---= ----= ---. c 13x 13

Wartość wyrażenia sin α + cos α liczymy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: 1173

Wersja PDF