/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 1359690

Dla jakich wartości parametru m równanie 2 2 |x − 6x + 8|+ |x − 6x + 5| = m ma co najmniej trzy pierwiastki rzeczywiste.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zadanie najprościej jest rozwiązać posługując się wykresem. Aby narysować wykres lewej strony spróbujemy ją zapisać bez użycia wartości bezwzględnej. W zasadzie mamy 5 przypadków (odpowiadającym 4 miejscom zerowym wyrażeń pod wartością bezwzględną), ale niektóre z nich prowadzą do tego samego wzoru, więc je od razu połączymy.

Zacznijmy od znalezienia pierwiastków podanych trójmianów.

2 2 x − 6x + 8 = 0 x − 6x + 5 = 0 Δ = 36− 32 = 4 Δ = 36 − 20 = 16 x = 2 ∨ x = 4 x = 1∨ x = 5.

Zatem

2 2 |x −( 6x+ 8|+ |x − 6x + 5| = | x 2 − 6x + 8+ x2 − 6x+ 5 = 2x 2 − 12x + 13 dla x ∈ (− ∞ ,1⟩∪ ⟨5 ,∞ ) { 2 2 = | x − 6x + 8− x + 6x− 5 = 3 dla x ∈ (1,2⟩ ∪ ⟨4,5) ( −x 2 + 6x − 8− x2 + 6x− 5 = − 2x2 + 12x − 1 3 dla x ∈ (2,4).

Rysujemy teraz wykres.

PIC

Z wykresu odczytujemy, że dane równanie ma co najmniej trzy pierwiastki dla m ∈ ⟨3,5⟩ .  
Odpowiedź: m ∈ ⟨3,5⟩

Wersja PDF