Zadanie nr 2115258

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

|x2 + 2x − 3| = m

ma cztery różne rozwiązania, których iloczyn jest mniejszy od 5.

Rozwiązanie

Jeżeli m < 0 , to równanie jest oczywiście sprzeczne. Jeżeli natomiast m ≥ 0 , to równanie jest równoważne dwóm równaniom kwadratowym

x 2 + 2x − 3 = −m lub x2 + 2x− 3 = m 2 2 x + 2x − 3+ m = 0 lub x + 2x− 3− m = 0.

Musimy teraz sprawdzić, kiedy te dwa równania mają cztery różne rozwiązania.

Sposób I

Szkicujemy wykres funkcji

|| || y = |x2 + 2x− 3| = |(x+ 1)2 − 4|.

Aby narysować ten wykres – zaczynamy od paraboli y = x 2 , potem przesuwamy ją o wektor [− 1 ,− 4 ] i na koniec odbijamy część poniżej osi do góry.

Z wykresu widać, że równanie ma 4 różne rozwiązania dla

m ∈ (0 ,4).

Przy tym założeniu, możemy zastosować wzory Viète’a dla każdego z równań. Jeżeli x1,x2 są pierwiastkami pierwszego, a x 3,x4 pierwiastkami drugiego równania, to mamy

x x = − 3+ m 1 2 x3x4 = − 3− m .

Stąd

x1x2x 3x 4 = (− 3+ m )(− 3 − m ) = − (m − 3)(m + 3) = − (m 2 − 9).

Pozostało rozwiązać nierówność

2 5 > x1x2x3x4 = −(m − 9) / ⋅ (− 1 ) − 5 < m2 − 9 0 < m2 − 4 = (m − 2)(m + 2) m ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (2,+ ∞ ).

W połączeniu z wcześniej otrzymanym warunkiem m ∈ (0,4) , mamy stąd

m ∈ (2 ,4).

Sposób II

Sprawdźmy najpierw kiedy pierwsze równanie ma dwa różne rozwiązania – liczymy –ę.

0 < Δ = 4 − 4(− 3 + m ) = 16 − 4m / : 4 m < 4.

Założyliśmy ponadto, że m ≥ 0 , więc mamy stąd m ∈ [0 ,4) .

Tak samo sprawdzamy, kiedy drugie równanie ma dwa różne rozwiązania

0 < Δ = 4 − 4(− 3 − m ) = 16 + 4m / : 4 − 4 < m .

To oznacza, ze przy naszym założeniu m ≥ 0 , drugie równanie ma zawsze dwa rozwiązania.

W tym miejscu łatwo popełnić błąd – z tego, że każde z równań ma dwa różne rozwiązania nie musi wynikać, w sumie mamy cztery rozwiązania: może się zdarzyć, równania mają wspólne rozwiązanie. Sprawdźmy kiedy tak może być