/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 2413577

Rozwiąż równanie 3⋅ |51 − x |− 2 ⋅|x− 81| = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z faktu, że

|a| = |b| ⇐ ⇒ (a = b ∨ a = −b ).

Przekształcamy dane równanie.

3 ⋅|5 1− x| = 2⋅|x − 81 | |153 − 3x| = |2x − 162 | 153 − 3x = 2x − 162 ∨ 153− 3x = − 2x + 1 62 5x = 315 ∨ x = −9 x = 6 3 ∨ x = − 9.

Sposób II

Dane równanie możemy zapisać w postaci

3⋅|x − 51| = 2 ⋅|x− 81|.

Tym razem rozpatrzymy trzy możliwe znaki wyrażeń w równaniu.

Jeżeli x < 51 , to mamy równanie

− 3(x − 51 ) = − 2(x− 81) − 3x + 15 3 = − 2x + 162 ⇒ x = − 9.

Jeżeli x ∈ ⟨51,81 ) , to mamy równanie

3(x − 51) = − 2(x − 8 1) 5x = 31 5 ⇒ x = 63 .

Jeżeli wreszcie x ≥ 81 , to mamy dokładnie ten sam rachunek, co w pierwszym przypadku, czyli równanie jest w takiej sytuacji sprzeczne.  
Odpowiedź: x ∈ { −9 ,63}

Wersja PDF