Zadanie nr 3229521
Dany jest wielomian określony dla dowolnej liczby rzeczywistej
. Wyznacz wszystkie wartości parametru
, dla których równanie
![( ) --|x|-- W 1 + |x| = m](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadT3x.png)
ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Rozwiązanie
Tak naprawdę mamy wyznaczyć zbiór wartości funkcji
![( ) y = W --|x-|-- . 1+ |x |](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR0x.png)
Zanim to jednak zrobimy, spróbujmy zrozumieć jak zachowuje się funkcja
![|x| f (x) = -------. 1 + |x|](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR1x.png)
Jest to funkcja parzysta (to znaczy ), czyli wykres zarówno tej funkcji jak i funkcji
jest symetryczny względem osi
. Funkcja
ma tylko jedno miejsce zerowe:
. Jej wartości zawierają się w przedziale
– bo
i
. Jeżeli zapiszemy jej wzór w postaci
![f(x ) = --|x|--= 1-+-|x|−--1 = 1 − ---1---, 1 + |x| 1 + |x| 1 + |x|](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR10x.png)
to widać też, że jest to funkcja rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale
(bo wyrażenie
maleje wraz ze wzrostem
). Tą ostatnią obserwację możemy uzasadnić licząc pochodną. Jeżeli
, to
![( ) ′ --1--- ′ ----1---- f (x) = 1− 1 + x = (1 + x)2 .](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR16x.png)
Pochodna jest dodatnia na przedziale , więc
rośnie dla
. Jak już zauważyliśmy wcześniej funkcja
jest parzysta, więc na przedziale
jest malejąca. Ponadto
![xl→im− ∞f (x) = xl→im+∞ f(x ) = 1.](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR22x.png)
Mamy więc już dość informacji, żeby dość dokładnie naszkicować wykres funkcji .
Ustaliśmy więc, że w równaniu
![( ) --|x|-- W 1 + |x| = m](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR25x.png)
do wielomianu wstawiamy tylko wartości z przedziału
. Sprawdźmy jak zachowuje się ten wielomian tym przedziale. Liczymy pochodną
![W ′(x) = 40x7 + 40x4 = 40x4(x3 + 1).](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR28x.png)
Widać, że w przedziale pochodna wielomianu
jest dodatnia, więc jest on rosnący na przedziale
. Jego zbiorem wartości na tym przedziale jest więc przedział
![[W (0),W (1)) = [0,13).](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR32x.png)
W szczególności, równanie
![( ) |x| W 1-+-|x| = m](https://img.zadania.info/zad/3229521/HzadR33x.png)
ma rozwiązania tylko dla .
Odpowiedź: