/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 3377564

Rozwiąż równanie √ -2---------- x − 2x + 1 − 2|x + 3|+ x+ 7 = 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, ze pod pierwiastkiem mamy pełny kwadrat, więc równanie możemy zapisać w postaci

∘ ------------ x2 − 2x + 1 − 2|x + 3|+ x+ 7 = 0 ∘ --------- (x − 1)2 − 2|x+ 3|+ x + 7 = 0 |x − 1 |− 2|x + 3|+ x+ 7 = 0.

Rozważamy teraz przypadki.

Jeżeli x ≥ 1 to mamy równanie

x− 1− 2(x+ 3)+ x+ 7 = 0 0 = 0

Jeżeli x ∈ ⟨− 3,1) to mamy równanie

− (x − 1) − 2(x + 3) + x + 7 = 0 − 2x + 2 = 0 ⇒ x = 1.

Liczba x = 1 nie spełnia założenia x ∈ ⟨− 3,1) .

Jeżeli wreszcie x < − 3 to mamy równanie

− (x − 1) + 2(x + 3) + x + 7 = 0 2x + 1 4 = 0 ⇒ x = − 7.

Podsumowując, rozwiązaniem równania jest zbiór

{− 7} ∪ ⟨1,+ ∞ ).

 
Odpowiedź: x ∈ { − 7}∪ ⟨1,+ ∞ )

Wersja PDF