/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 5515560

Rozwiąż równanie √ -- -1- 2 2 ( 2x − √ 2) + |2x − 3x + 1| = 0 .

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ oba składniki sumy są nieujemne, suma może być równa 0 tylko wtedy, gdy oba są 0. W szczególności

√ -- √ -- 2x − √1--= 0 /⋅ 2 2 2x = 1 x = 1. 2

Łatwo sprawdzić, że dla x = 12 drugi składnik również jest równy 0.

Sposób II

Przekształćmy podane równanie

( )2 √ 2x − √1-- + |2x2 − 3x + 1| = 0 2 1 2x2 − 2x + --+ |2x2 − 3x + 1 | = 0 2 2 2 1- |2x − 3x + 1| = − 2x + 2x − 2 .

Aby zachodziło równanie postaci |f(x)| = g (x) to musi być g(x ) ≥ 0 i f(x) = ±g (x ) . Samo rozwiązanie równania f (x) = ±g (x) może dawać niepoprawne rozwiązania, bo np. -3=-3 ale | − 3| ⁄= − 3 , ważne jest sprawdzenie czy prawa strona jest nieujemna. Zamiast sprawdzać nieujemność prawej strony (co w naszej sytuacji jest dość kłopotliwe), można sprawdzić poprawność otrzymanych rozwiązań. My postąpimy w ten drugi sposób.