/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 6620210

Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których równanie |x + 2|− |x | = a nie ma rozwiązania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.

Jeżeli x ≥ 0 to mamy równanie

x + 2 − x = a a = 2 .

Jeżeli x ∈ ⟨− 2,0) to mamy równanie

x + 2 + x = a 2x = a− 2 a−--2- x = 2 .

Sprawdźmy jeszcze kiedy to rozwiązanie spełnia warunek x ∈ ⟨− 2,0) .

− 2 ≤ a-−-2-< 0 / ⋅2 2 − 4 ≤ a − 2 < 0 / + 2 − 2 ≤ a < 2.

Jeżeli x < − 2 to mamy równanie

− (x+ 2)+ x = a − 2 = a.

Z powyższych rachunków widać, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy a = ±2 , równanie ma rozwiązanie, gdy a ∈ (− 2,2) oraz jest sprzeczne w pozostałych przypadkach.

Sposób II

Tym razem narysujemy wykres lewej strony. Aby to zrobić, zapiszmy lewą stronę bez wartości bezwzględnej.

( |{ x + 2 − x = 2 dla x ≥ 0 f(x) = |x + 2| − |x| = x + 2 + x = 2x + 2 dla − 2 ≤ x < 0 |( −x − 2 + x = − 2 dla x < −2 .

Rysujemy teraz wykres i bez trudu odczytujemy, że równanie f(x ) = a jest sprzeczne jeżeli a ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (2 ,+∞ ) .

PIC

 
Odpowiedź: a ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (2,+ ∞ )

Wersja PDF