/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 9383090

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż równanie 2 (x− 3) |sinx | = sin x w zbiorze ⟨0,2 π⟩ .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli sin x = 0 , to równanie jest spełnione, więc otrzymujemy w ten sposób 3 rozwiązania: {0,π ,2 π} . Załóżmy dalej, że sin x ⁄= 0 .

Sposób I

Rozważamy dwa przypadki (ze względu na możliwy znak sinusa).
Jeżeli x ∈ (0 ,π) , to mamy równanie

(x − 3 )2sinx = sin x / : sinx 2 (x − 3 ) = 1 x − 3 = − 1 lub x− 3 = 1 x = 2 lub x = 4.

Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunek x ∈ (0,π ) .
Jeżeli x ∈ (π ,2π ) , to mamy równanie

− (x− 3)2sin x = sinx / : sin x 2 (x − 3) = − 1.

Równanie to jest oczywiście sprzeczne.

Sposób II

Zauważmy, że lewa strona danego równania jest zawsze nieujemna, więc praw strona też mus być nieujemna, czyli x ∈ (0,π ) (przedział jest otwarty bo założyliśmy, że sin x ⁄= 0 ). Równanie przyjmuje więc postać

(x − 3 )2sinx = sin x / : sinx 2 (x − 3 ) = 1 x − 3 = − 1 lub x− 3 = 1 x = 2 lub x = 4.

Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunek x ∈ (0,π ) .  
Odpowiedź: x ∈ { 0,2,π,2π }

Wersja PDF