Zadanie nr 9662624

Wyznacz w zależności od parametru liczbę rozwiązań równania | | || 1x − 3 ||+ m = 0 3 .

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie w postaci

|| 1 || ||-x-− 3 || = −m . 3

Sposób I

Szkicujemy wykres funkcji z lewej strony równania. Zaczynamy od 1 y = 3x , potem przesuwamy tę funkcję o 3 jednostki w dół i mamy y = 13x − 3 , a na koniec odbijamy część poniżej osi do góry.

Gdy to zrobimy, to widać, że liczba rozwiązań powyższego równania jest równa

( |{ 0 dla m > 0 | 1 dla m ∈ (− ∞ ,− 3⟩∪ { 0} ( 2 dla m ∈ (− 3,0).

Sposób II

Jeżeli m > 0 to prawa strona równania jest ujemna, czyli równanie jest sprzeczne.

Jeżeli m = 0 to mamy równanie

| | |1 | ||-x-− 3|| = 0 3 1-- 3x = 3 x = − 1,

które ma jedno rozwiązanie.

Jeżeli m < 0 to mamy

|| 1 || ||-x-− 3|| = −m 3 1-- -1- 3x − 3 = −m ∨ 3x − 3 = m 1 1 -x-= −m + 3 ∨ --x = m + 3. 3 3

Jak wiemy zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział (0,+ ∞ ) , więc lewe równanie ma zawsze rozwiązanie (bo m < 0 ), a prawe ma rozwiązanie tylko dla m > − 3 . Ponadto rozwiązania tych dwóch równań są różne, bo m ⁄= 0 .