/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną

Zadanie nr 9756123

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż układ równań { 2 y = |x − 4| y = |x− 2|+ 2x .

Rozwiązanie

Patrząc na znaki wyrażeń 2 x − 4 i x − 2 , mamy 3 możliwości
Jeżeli x ≥ 2 , to mamy układ równań

{ y = x2 − 4 y = x− 2+ 2x = 3x − 2.

Porównując y –ki mamy

2 x − 4 = 3x − 2 x2 − 3x − 2 = 0 .

Dalej, Δ = 9 + 8 = 17 , √-- x = 3−--17 2 lub √-- x = 3+--17 2 . Tylko druga z tych liczb spełnia założenie x ≥ 2 , wtedy

--- --- 9 + 3 √ 17 5 + 3 √ 17 y = 3x − 2 = ---------- − 2 = ----------. 2 2

Jeżeli 2 > x ≥ −2 to mamy układ równań

{ 2 y = −x + 4 y = −x + 2 + 2x = x + 2.

Porównując y –ki mamy

2 − x + 4 = x + 2 x 2 + x − 2 = 0.

Dalej, Δ = 1 + 8 = 9 , x = − 2 lub x = 1 . Mamy wtedy y = 0 lub y = 3 odpowiednio.
Jeżeli x < − 2 to mamy układ równań

{ y = x 2 − 4 y = −x + 2 + 2x = x + 2.

Porównując y –ki mamy

2 x − 4 = x+ 2 x 2 − x − 6 = 0.

Dalej Δ = 1 + 24 = 25 , x = − 2 lub x = 3 . Żadna z tych liczb nie spełnia warunku x < −2 .  
Odpowiedź: 3+√ 17 5+3√ 17- (x,y ) = (--2---,---2--) lub (x,y ) = (− 2,0) lub (x ,y) = (1,3)

Wersja PDF