/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny

Zadanie nr 7710075

Na czworokącie ABCD opisano okrąg o środku S i promieniu r = 2 (zobacz rysunek). Pole tego czworokąta jest równe

PIC

A) √ -- 2 + 2 2 B) 4 C) √ -- √ -- 2 3 + 2 2 D) √ -- 2 + 2 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡ASD = 360 − ∡ASB − ∡BSC − ∡CSD = 360 − 135 − 120 − 45 = 60 .

Pole czworokąta ABCD jest więc równe (korzystamy ze wzoru z sinusem)

PABCD = PASB + PBSC + PCSD + PDSA = 1 = --⋅22 ⋅(sin 135∘ + sin1 20∘ + sin 45∘ + sin6 0∘) = 2( √ -- √ --) ∘ ∘ ∘ ∘ --2- --3- = 2 sin(180 − 45 ) + sin(180 − 6 0 )+ 2 + 2 = ( -- -) √ 2 √ 3 √ -- √ -- = 2 sin45 ∘ + sin 60∘ +----+ ---- = 2( 2 + 3). 2 2

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF