/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 5989447

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 8, a kąt rozwarty tego rombu ma miarę 120∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole rombu ABCD jest równe
A) √ - 16--3 3 B) 8 C) √- 32-3- 3 D) 16

Rozwiązanie

Sposób I

Kąt ostry rombu ma miarę

180∘ − 120∘ = 6 0∘,

więc romb ABCD składa się z dwóch trójkątów równobocznych: ABD i BCD . Podana długość przekątnej AC jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta ABD (bo przekątne rombu są prostopadłe).

ZINFO-FIGURE

Jeżeli więc oznaczymy długość boku rombu przez a , to mamy

√ -- a--3- √ -- -8-- 8 = 2h = 2 ⋅ 2 = a 3 ⇒ a = √ -- 3

Pole rombu jest więc równe

√ -- 64 √ -- √ -- a2--3- -3-⋅--3 32--3- PABCD = 2PABD = 2 ⋅ 4 = 2 = 3 .

Sposób II

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc romb ABCD składa się z 4 trójkątów prostokątnych przystających do trójkąta ABS . W tym trójkącie mamy

AS √ -- 4 ----= tg 60∘ = 3 ⇒ BS = √--. BS 3

Stąd

√ -- 1- -4-- -32- 32---3 PABCD = 4PABS = 4 ⋅2 ⋅AS ⋅BS = 2 ⋅4⋅ √ 3-= √ 3-= 3 .

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF