Zadanie nr 5989447
W rombie dłuższa przekątna
ma długość 8, a kąt rozwarty tego rombu ma miarę
(zobacz rysunek).
Pole rombu jest równe
A) B) 8 C)
D) 16
Rozwiązanie
Sposób I
Kąt ostry rombu ma miarę
![180∘ − 120∘ = 6 0∘,](https://img.zadania.info/zad/5989447/HzadR0x.png)
więc romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych:
i
. Podana długość przekątnej
jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta
(bo przekątne rombu są prostopadłe).
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/5989447/HzadR6x.png)
Jeżeli więc oznaczymy długość boku rombu przez , to mamy
![√ -- a--3- √ -- -8-- 8 = 2h = 2 ⋅ 2 = a 3 ⇒ a = √ -- 3](https://img.zadania.info/zad/5989447/HzadR8x.png)
Pole rombu jest więc równe
![√ -- 64 √ -- √ -- a2--3- -3-⋅--3 32--3- PABCD = 2PABD = 2 ⋅ 4 = 2 = 3 .](https://img.zadania.info/zad/5989447/HzadR9x.png)
Sposób II
Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc romb składa się z 4 trójkątów prostokątnych przystających do trójkąta
. W tym trójkącie mamy
![AS √ -- 4 ----= tg 60∘ = 3 ⇒ BS = √--. BS 3](https://img.zadania.info/zad/5989447/HzadR12x.png)
Stąd
![√ -- 1- -4-- -32- 32---3 PABCD = 4PABS = 4 ⋅2 ⋅AS ⋅BS = 2 ⋅4⋅ √ 3-= √ 3-= 3 .](https://img.zadania.info/zad/5989447/HzadR13x.png)
Odpowiedź: C