/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 8206329

W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Pole rombu ABCD jest równe
A) 24 B) 36 C) √ -- 24 3 D) 36√ 2-

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych, więc kąt ostry rombu ma miarę 60∘ .

ZINFO-FIGURE

To oznacza, że romb ABCD składa się z dwóch trójkątów równobocznych: ABD i BCD . Podana długość przekątnej AC jest dwa razy dłuższa od wysokości trójkąta ABD (bo przekątne rombu są prostopadłe). Jeżeli więc oznaczymy długość boku rombu przez a , to mamy

√ -- √ -- 12 = 2h = 2 ⋅ a-3-= a 3 ⇒ a = 1√2-- 2 3

Pole rombu jest więc równe

√ -- √ -- a2 3 1434⋅ 3 √ -- PABCD = 2PABD = 2 ⋅------= -------- = 24 3 . 4 2

Sposób II

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc romb ABCD składa się z 4 trójkątów prostokątnych przystających do trójkąta ABS . W tym trójkącie mamy

√ -- BS-- ∘ --3- √ -- AS = tg 30 ⇒ BS = 6 ⋅ 3 = 2 3.

Stąd

1- √ -- √ -- PABDC = 4PABS = 4 ⋅2 ⋅AS ⋅BS = 2 ⋅6 ⋅2 3 = 24 3.

 
Odpowiedź: C

Wersja PDF