Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną AC... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Romb, 9055353

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 9055353

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną $AC$ rombu $ABCD$ oraz wierzchołki $A = (− 2,1)$ i $C = (4,5)$ tego rombu.

Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną $BD$ tego rombu.
A) $y = − 23x+ 131$ B) $y = − 32 x+ 4$ C) $y = −x + 4$ D) $y = − 3x + 9 2 2$

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, to prosta $BD$ jest prostopadła do podanej przekątnej $AC$ i przechodzi przez środek rombu $S$ .

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AC$ , więc

S = A--+-C-= (−-2,1)-+-(4,5)-= (1,3). 2 2

Wyznaczmy teraz równanie prostej $AC$ – szukamy prostej w postaci $y = ax+ b$ i podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $C$ .

{ 1 = − 2a + b 5 = 4a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy $6a = 4$ , czyli $2 a = 3$ . Współczynnika $b$ nie wyznaczamy, bo nie jest nam potrzebny.

Prosta $BD$ ma więc równanie postaci $y = − 32x + b$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $S$ .

3 = − 3-+ b ⇒ b = 3+ 3-= 9. 2 2 2

Sposób II

Szukana przekątna $BD$ to dokładnie symetralna odcinka $AC$ . Jej równanie możemy wyznaczyć szukając punktów $X = (x ,y)$ , których odległości od $A$ i $C$ są takie same.