/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Geometria analityczna/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 9055353

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną AC rombu ABCD oraz wierzchołki A = (− 2,1) i C = (4,5) tego rombu.

PIC

Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną BD tego rombu.
A) y = − 23x+ 131 B) y = − 32 x+ 4 C) y = −x + 4 D) y = − 3x + 9 2 2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, to prosta BD jest prostopadła do podanej przekątnej AC i przechodzi przez środek rombu S .

PIC

Punkt S jest środkiem odcinka AC , więc

A + C (− 2,1) + (4,5) S = -------= ----------------= (1,3). 2 2

Wyznaczmy teraz równanie prostej AC – szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów A i C .

{ 1 = − 2a+ b 5 = 4a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6a = 4 , czyli 2 a = 3 . Współczynnika b nie wyznaczamy, bo nie jest nam potrzebny.

Prosta BD ma więc równanie postaci y = − 32x + b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu S .

3- 3- 9- 3 = − 2 + b ⇒ b = 3+ 2 = 2.

Sposób II

Szukana przekątna BD to dokładnie symetralna odcinka AC . Jej równanie możemy wyznaczyć szukając punktów X = (x ,y) , których odległości od A i C są takie same.

AX 2 = CX 2 2 2 2 2 (x + 2) + (y − 1) = (x − 4 ) + (y − 5) x 2 + 4x + 4 + y 2 − 2y + 1 = x2 − 8x + 16 + y2 − 10y + 2 5 8y = − 12x + 36 ⇒ y = − 3x + 9. 2 2

 
Odpowiedź: D

Wersja PDF