/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 1458403

Liczba przekątnych wszystkich ścian bocznych i podstawy pewnego graniastosłupa jest równa 182. Zatem podstawą tego graniastosłupa jest:
A) trzynastokąt B) czternastokąt C) piętnastokąt D) szesnastokąt

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez n liczbę wierzchołków podstawy graniastosłupa.

PIC

Każda ściana graniastosłupa jest prostokątem, więc ściany boczne mają łącznie 2n przekątnych. Do tego musimy dodać przekątne podstaw – na mocy wzoru na liczę przekątnych n -kąta wypukłego, podstawy mają

n(n − 3) 2⋅ ---------= n2 − 3n 2

przekątnych, więc w sumie przekątnych jest

n 2 − 3n+ 2n = n 2 − n.

Rozwiązujemy równanie

n 2 − n − 182 = 0 2 2 Δ = (− 1) − 4 ⋅(− 182) = 1 + 728 = 729 = 27 1 − 27 1+ 27 n = -------= − 13 lub n = -------= 14. 2 2

Odrzucamy rozwiązanie ujemne i otrzymujemy n = 14 .  
Odpowiedź: B

Wersja PDF