/Szkoła średnia/Zadania testowe/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Dowolny

Zadanie nr 4675425

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczba przekątnych wszystkich ścian bocznych i podstaw pewnego graniastosłupa jest równa 240. Zatem podstawą tego graniastosłupa jest:
A) trzynastokąt B) czternastokąt C) piętnastokąt D) szesnastokąt

Rozwiązanie

Oznaczmy przez n liczbę wierzchołków podstawy graniastosłupa.

PIC

Każda ściana graniastosłupa jest prostokątem, więc ściany boczne mają łącznie 2n przekątnych. Do tego musimy dodać przekątne podstaw – na mocy wzoru na liczę przekątnych n -kąta wypukłego, podstawy mają

n(n − 3) 2⋅ ---------= n2 − 3n 2

przekątnych, więc w sumie przekątnych jest

n 2 − 3n+ 2n = n 2 − n.

Rozwiązujemy równanie

n 2 − n − 240 = 0 2 2 Δ = (− 1) − 4 ⋅(− 240) = 1 + 960 = 961 = 31 1 − 31 1+ 31 n = -------= − 15 lub n = -------= 16. 2 2

Odrzucamy rozwiązanie ujemne i otrzymujemy n = 16 .  
Odpowiedź: D

Wersja PDF