Zadanie nr 3048784

Wykaż, że jeżeli jest rozwiązaniem równania 5 4 2 2x + 5x + 5x + 20x + 3 = 0 , to x0 ∈ (− 1,0) .

Rozwiązanie

Zagadnienie rozwiązania danego równania wygląda na dość beznadziejne, więc zamiast tego obliczmy pochodną wielomianu z lewej strony tak, aby zobaczyć jak zachowuje się ta funkcja.

W ′(x ) = 10x4 + 20x 3 + 1 0x+ 20 = 10 (x4 + 2x3 + x+ 2) = 3 3 = 10(x (x + 2) + (x + 2)) = 10(x + 2)(x + 1).

Widać teraz, że pochodna ma dwa miejsca zerowe x = −2 i x = − 1 . Ponadto przy przejściu przez pierwsze z nich zmienia znak z dodatniego na ujemny, a przy przejściu przez drugie zmienia znak z ujemnego na dodatni. To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale (− ∞ ,−2 ⟩ , potem maleje w przedziale ⟨− 2,− 1⟩ , a następnie ponownie rośnie w przedziale ⟨− 1,+ ∞ ) . Zauważmy jeszcze, że

W (− 2) = − 64 + 8 0+ 2 0− 40+ 3 = − 1 W (0) = 3 .

Z powyższej analizy wynika zatem, że funkcja rośnie w przedziale (− ∞ ,− 2⟩ do wartości W (− 2) = − 1 , następnie maleje w przedziale ⟨− 2,− 1⟩ i potem cały czas rośnie. To oznacza, że na lewo od x = − 1 funkcja w całości znajduje się poniżej osi , a na prawo od x = 0 znajduje się w całości powyżej f(0) = 3 . To oznacza, że pierwiastek danego równania musi znajdować się w przedziale (− 1,0) .