/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe

Zadanie nr 3206771

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozważmy równanie 4 √ -- 2 9x + 2− 5x − 1 = 0 .

  • Uzasadnij, że równanie to ma 4 pierwiastki.
  • Oblicz sumę szóstych potęg wszystkich pierwiastków tego równania.

Rozwiązanie

  • Równanie jest dwukwadratowe, więc podstawiamy 2 t = x i mamy równanie kwadratowe
    √ -- 9t2 − 5t+ 2− 1 = 0.

    Musimy sprawdzić, że równanie to ma dwa pierwiastki, i że oba są dodatnie. Istotnie, jeżeli t1 i t2 są dodatnimi pierwiastkami tego równania kwadratowego, to pierwiastkami wyjściowego równania są liczby √ -- ± t1 i √ -- ± t2 .

    Liczymy Δ -ę.

    √ -- √ -- Δ = 25− 36( 2 − 1) = 61 − 36 2.

    Sprawdźmy czy ta liczba jest dodatnia.

    √ -- 61 − 36 2 > 0 √ -- 2 61 > 36 2 /() 3721 > 2592.

    Nierówność jest prawdziwa, więc istotnie Δ > 0 . Pozostało sprawdzić czy oba pierwiastki są dodatnie. Korzystamy ze wzorów Viète’a.

    { 5 t1 + t2 =√-9 t1t2 = --29−1.

    Prawe strony tych równości są dodatnie, więc t1 i t2 też muszą być dodatnie (z drugiej równości wynika, że obie liczby mają ten sam znak, a z pierwszej, że ten znak to ’+’).

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że pierwiastki danego równania to liczby √ -- ± t1 i √ -- ± t2 . Zatem suma ich szóstych potęg jest równa
    √ -- √ -- √ -- √ -- (− t1)6 + ( t1)6 + (− t2)6 + ( t2)6 = 2t31 + 2t32.

    Wyrażenie to obliczymy korzystając z wpisanych w poprzednim podpunkcie wzorów Viète’a, ale najpierw zapiszmy wyrażenie 2t31 + 2t32 przy pomocy t1 + t2 i t1t2 .

    2t3 + 2t3 = 2(t3+ t3) = 2((t + t )3 − 3t t2− 3t2t ) = 1 2 1 2 1 2 ( 1 2 1√ 2- ) 3 1 25 2− 1 5 = 2 ((t1 + t2) − 3t1t2(t1 + t2)) = 2 ---- − 3⋅ --------⋅-- = ( ) 7 29 9 9 125 27 ⋅5(√ 2− 1) 125 + 1 35− 27⋅5 √ 2- = 2 ----− --------------- = 2 ⋅--------------------- = 729 729 729 √ -- = 520-− 1-0--2. 729 27

     
    Odpowiedź: √- 520 10-2- 729 − 27

Wersja PDF