Zadanie nr 4040034

Wyznacz współczynniki i wielomianu 3 2 W (x ) = x − 4x + cx + d wiedząc, że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) .

Rozwiązanie

Ponieważ x = 1 jest pierwiastkiem, mamy

1 − 4 + c + d = 0 ⇒ c+ d = 3.

Pozostało teraz wykorzystać informację, że x = 1 jest pierwiastkiem podwójnym.

Sposób I

Najprostszy sposób to użycie pochodnych. Łatwo uzasadnić, że liczba jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu to jest też pierwiastkiem pochodnej. W naszej sytuacji

′ 2 W (x) = 3x − 8x + c 0 = W ′(1) = 3 − 8 + c ⇒ c = 5 .

Zatem d = − 2 (bo c+ d = 3 ).

Sposób II

Jeżeli nie chcemy używać pochodnych to dzielimy W (x) przez x − 1 . My zrobimy to grupując wyrazy

3 2 x − 4x + cx+ 3− c = = (x3 − x2)− (3x2 − 3x) + ((c− 3)x − (c− 3)) = 2 = (x− 1)(x − 3x + c − 3).

Skoro pierwiastek x = 1 jest dwukrotny to musi być pierwiastkiem otrzymanego wielomianu stopnia 3. Zatem

0 = 1− 3+ c− 3 ⇒ c = 5.

Stąd d = − 2 .

Sposób III

W zasadzie robimy to co w sposobie II, ale od razu dzielimy przez 2 2 (x − 1) = x − 2x+ 1 . Sprawdzimy kiedy reszta przy tym dzielniu jest 0.

3 2 x − 4x + cx + 3 − c = = (x3 − 2x 2 + x )− (2x 2 − 4x + 2)+ (c− 5 )x + 2+ 3 − c = 2 2 = x(x − 1 ) − 2(x − 1) + (c − 5)x + (5 − c).

Jeżeli reszta ma być 0, to musi być c = 5 , stąd d = − 2 .

0 = − 2− 3+ c

Sposób IV

Jeżeli x = 1 jest pierwiastkiem podwójnym danego wielomianu to musi on mieć postać

(x − 1)2(x− a) = (x2 − 2x + 1)(x − a) = x3 − (a+ 2 )x2 + (2a+ 1)x− a.

dla pewnego . Z równości

x 3 − 4x2 + cx+ d = x3 − (a + 2)x2 + (2a + 1)x − a

otrzymujemy a + 2 = 4 , czyli a = 2 . Zatem

{ c = 2a+ 1 = 5 d = −a = − 2.

Sposób V

Jeżeli równanie stopnia 3 ma pierwiastek podwójny, to automatycznie ma też trzeci pierwiastek (bo musi to być równanie postaci: 2 (x − 1) (x − x 3) = 0 ). W takim razie możemy skorzystać ze wzorów Viète’a dla równania stopnia 3. Mamy zatem