Zadanie nr 5594855

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 2 (x + 3mx + 1)(x + 2x + m) = 0

ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.

Rozwiązanie

Pierwiastki podanego równania to pierwiastki pierwszego i drugiego równania kwadratowego. Powiedzmy, że pierwiastki pierwszego to x1,x 2 , a pierwiastki drugiego to y1,y2 . Na mocy wzorów Viète’a mamy zatem

x 1 + x 2 = − 3m x 1x2 = 1 y 1 + y2 = − 2 y y = m . 1 2

Na razie nie przejmujmy się -ami, ani tym, czy przypadkiem, któreś z tych pierwiastków są równe – sprawdzimy to na samym końcu.

Liczymy teraz sumę sześcianów pierwiastków

4 = x31 + x32 + y31 + y32 = 3 2 2 3 2 2 = (x1 + x2) − 3x1x2 − 3x 1x2 + (y1 + y2) − 3y 1y2 − 3y1y2 = = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x 1 + x 2)+ (y 1 + y2)3 − 3y 1y 2(y1 + y2) = 3 = − 27m + 9m − 8+ 6m 27m 3 − 15m + 12 = 0 / : 3 9m 3 − 5m + 4 = 0.

Szukamy teraz pierwiastków wymiernych otrzymanego równania. Łatwo zauważyć, że pierwiastkiem jest m = − 1 , czyli równanie dzieli się przez m + 1 . My dzielimy grupując wyrazy.