Zadanie nr 6050858

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie mx 3 + (9m − 3)x2 + (2 − m )x = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Rozwiązanie

Jedno rozwiązanie widać od ręki: x = 0 . Jak podzielimy równanie przez zostaje nam równanie

mx 2 + (9m − 3 )x + (2− m ) = 0 .

Jeżeli równanie to jest liniowe (dla m = 0 ) to mamy

−3x + 2 = 0 ⇒ x = 2- 3

i jest OK.

Jeżeli m ⁄= 0 , to sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki

0 ≤ Δ = (9m − 3 )2 − 4m (2 − m ) = 2 2 2 = 81m − 54m + 9− 8m + 4m = 8 5m − 62m + 9 Δ = 3 844− 3060 = 784 = 282 m1 = 1, m 2 = 9-- ( 5 ⟩ 1⟨7 ) 1- 9-- m ∈ − ∞ ,5 ∪ 17,+ ∞ .

Sposób I

Jeżeli m < 0 to ramiona paraboli f(x) = mx 2 + (9m − 3)x + (2 − m ) są skierowane w dół i będzie ona miała dodatni pierwiastek o ile f (0) > 0 , lub gdy równanie ma pierwiastki (nierówności wyżej) i wierzchołek paraboli jest na prawo od 0. Sprawdźmy kiedy f(0 ) > 0 .

0 < f(0) = 2− m ⇒ m < 2.

W ten sposób nie musimy nic więcej sprawdzać, bo widać, że dla wszystkich m < 0 jest OK.

Jeżeli m > 0 , to równanie będzie miało dodatni pierwiastek jeżeli f (0) < 0 , lub gdy równanie ma pierwiastki (nierówności z -ą) i wierzchołek jest na prawo od 0. Sprawdźmy kiedy f(0 ) < 0

0 > f(0) = 2− m ⇒ m > 2.

Sprawdźmy jeszcze kiedy xw > 0

0 < xw = − 9m-−--3 2m 1- 0 > 9m − 3 ⇐ ⇒ m < 3 .

W połączeniu z nierównością na -ę mamy w tym przypadku m ∈ (0, 1⟩ ∪ (2,+ ∞ ) 5 .

Podsumowując obie możliwości, rozwiązaniem jest zbiór

( 1⟩ m ∈ −∞ , -- ∪ (2,+ ∞ ). 5

Sposób II

Tym razem użyjemy wzorów Viète’a. Mamy dwie możliwości: musimy mieć dwa pierwiastków różnych znaków (czyli x1x2 < 0 ), lub jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi nieujemny ( x1x 2 ≥ 0 i x1 + x2 > 0 ). Pierwsza możliwość daje nam