Zadanie nr 6854996

Wielomian 3 2 W (x) = x + ax + bx+ c ma trzy pierwiastki rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy − 2 . Oblicz współczynniki a, b i wiedząc, że W (− 3) = − 48 .

Rozwiązanie

Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: m, m − 2 , m − 4 . Mamy zatem równość

W (x) = (x − m )(x − m + 2)(x − m + 4).

Warunek W (− 3) = − 48 jest więc równoważny równości

− 48 = W (− 3) = (− 3 − m )(− 3 − m + 2)(− 3− m + 4) − 48 = − (m + 3)(m + 1)(m − 1) = − (m + 3)(m 2 − 1) 48 = m 3 + 3m 2 − m − 3 3 2 m + 3m − m − 51 = 0.

Szukamy teraz miejsc zerowych powyższego wielomianu – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby 1 ,−1 ,3,− 3,... . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z miejsc zerowych jest m = 3 . Dzielimy teraz ten wielomian przez m − 3 . My zrobimy to grupując wyrazy.