Zadanie nr 7601394

Współczynniki wielomianu 3 2 W (x) = x + ax + bx + c spełniają warunek: a − b + c = 1 . Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozwiązanie

Wiemy, że

0 = − 1 + a − b + c = W (− 1).

Sposób I

Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: m , m + 3, m + 6 . Mamy zatem równość

W (x) = (x− m)(x − m − 3)(x − m − 6)

Warunek W (− 1) = 0 jest więc równoważny równości

0 = W (− 1) = (− 1− m )(−1 − m − 3)(− 1 − m − 6) 0 = (m + 1)(m + 4)(m + 7).

Mamy zatem trzy ciągi spełniające warunki zadania.

m = − 1 ⇒ (− 1,2,5 ) m = − 4 ⇒ (− 4,− 1,2) m = − 7 ⇒ (− 7,− 4,− 1).

Pozostało obliczyć w każdym z powyższych przypadków współczynniki wielomianu.

2 3 2 (x + 1)(x − 2)(x − 5) = (x − x− 2)(x− 5) = x − 6x + 3x + 1 0 (x + 4)(x + 1)(x − 2) = (x2 + 5x+ 4)(x − 2) = x3 + 3x 2 − 6x − 8 2 3 2 (x + 7)(x + 4)(x + 1) = (x + 11x + 28)(x + 1) = x + 12x + 39x + 28.

Sposób II

Wiemy, że W (− 1) = 0 , czyli jedynym z pierwiastków wielomianu jest x = −1 . Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to mamy trzy możliwe konﬁguracje pierwiastków