Zadanie nr 8124705

Dla jakich wartości parametru zbiór rozwiązań równania 4 2 x + mx − m = 0 jest dwuelementowy?

Rozwiązanie

Równanie jest dwukwadratowe, podstawmy więc 2 t = x .

2 t + mt − m = 0

Na początek sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania

2 Δ = m + 4m = m (m + 4)

Widać więc, że dla m ∈ (− 4,0) nie w ogóle rozwiązań. Dla m = − 4 mamy rówanie

t2 − 4t + 4 = (t − 2)2 = 0,

które daje dwa rozwiązania √ -- ± 2 wyjściowego równania.

Jeżeli m = 0 to mamy równanie t2 = 0 i wyjściowe równanie ma tylko jeden pierwiastek x = 0 .

Pozostała sytuacja, gdy równanie 2 t + mt − m = 0 ma dwa różne (i niezerowe) pierwiastki. Zauważmy, że każdy dodatni pierwiastek tego równania daje dwa pierwiastki wyjściowego równania. Zatem równanie to musi mieć jeden pierwiastek ujemny i jeden dodatni (bo ma dwa, a jak ma dwa dodatnie to jest źle). Na mocy wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków jest równy − m , zatem pierwiastki będą różnych znaków tylko dla m > 0 .