Zadanie nr 5324900

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym 2n+1- 1+3+-5+...+-(2n−-1) an = 2 − n+1 . Zbadaj monotoniczność tego ciągu i oblicz jego granicę.

Rozwiązanie

Ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

1 + (2n − 1) 1+ 3+ 5+ ⋅⋅⋅+ (2n − 1) = -------------⋅n = n2 2

(wyrazów jest , bo wzór 2n − 1 daje nam 1 dla n = 1 i dla n = n ). Mamy zatem

2 2 an = 2n-+-1-− -n----= (2n-+-1)(n-+-1)-−-2n--= 2 n + 1 2n + 2 2n2 + 3n + 1 − 2n 2 3n + 1 = ------------------- = -------. 2n + 2 2n + 2

Aby sprawdzić czy ciąg jest monotoniczny, policzmy różnicę jego dwóch kolejnych wyrazów.

3n + 4 3n + 1 an+ 1 − an = -------− -------= 2n + 4 2n + 2 (3n-+--4)(n-+-1)-−-(3n-+-1)(n-+-2)- = 2(n + 1)(n + 2) = 2 2 = 3n--+--7n-+-4-−-3n--−-7n-−-2-= -------2-------- > 0. 2(n + 1)(n + 2) 2(n + 1 )(n+ 2)

Tak więc ciąg jest rosnący. Policzmy teraz jego granicę.

-1 lim 3n+--1-= lim 3-+-n- = 3-. n→∞ 2n+ 2 n→ ∞ 2 + n2 2

Odpowiedź: Rosnący, granica: 3 2