/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 3

Zadanie nr 6416603

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Korzystając z definicji funkcji rożnowartościowej wykaż, że funkcja f określona wzorem f(x) = x 3 + 2x − 3 jest rożnowartościowa.

Rozwiązanie

Musimy wykazać, że jeżeli f(x ) = f(y) to x = y . Liczymy

3 3 3 3 0 = f(x) − f (y) = x + 2x − 3 − (y + 2y − 3) = x − y + 2 (x− y) = = (x − y)(x2 + xy + y 2)+ 2(x − y) = (x − y)(x2 + xy + y 2 + 2).

Jeżeli uda nam się wykazać, że wyrażenie w drugim z nawiasów jest niezerowe, to będzie koniec, bo powyższa równość będzie oznaczać, że x = y . Przekształćmy (zwiniemy do pełnego kwadratu)

( ) 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 x + xy + y + 2 = x + xy+ -y + -y + 2 = x + --y + -y + 2 > 0. 4 4 2 4

Wyrażenie to jest więc niezerowe, co oznacza, że x = y .

Wersja PDF