Zadanie nr 7815930

Oblicz pochodną funkcji f(x) = arctg x .

Rozwiązanie

Sposób I

Różniczkujemy stronami równość

tg(a rctg x) = x

korzystając ze wzoru na pochodną tangensa i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

′ tg(arctg x) = x / () 1 ′ ---2---------⋅ (arctg x) = 1 cos (arctg x) (arctg x)′ = cos2(arctg x).

Aby uprościć prawą stronę zauważmy, że jeżeli y = arctg x to tg y = x oraz

sin y -----= x / ()2 cosy sin 2y 2 ---2--= x cos y 1−--cos2y- 2 cos2y = x 2 2 2 1 − co s y = x cos y 2 2 1 = (1+ x )cos y 2 --1---- cos y = 1+ x2.

Zatem

(arctg x)′ = cos2(arctg x) = cos2 y = ---1---. 1 + x 2

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

− 1 ′ 1 (f (y 0)) = f′(x-), gdzie y 0 = f(x0) 0

na pochodną funkcji odwrotnej.

Jeżeli oznaczmy g(x) = tg x to −1 x0 = g (y0) = arctg y0 i na mocy powyższego wzoru mamy

(arctg y )′ = (g−1(y )) = --1----= co s2 x . 0 0 g′(x0) 0

Tak jak w pierwszym sposobie zauważamy, że

co s2x = --1---. 0 1+ y2 0

Zatem

′ ---1--- (arctg y0) = 1 + y2 . 0

Zamieniając literkę z y 0 na otrzymujemy ′ --1- (a rctg x) = 1+x2 .

Na koniec uwaga. Rachunki w każdym ze sposobów byłyby odrobinę prostsze, gdybyśmy wykorzystali inny wzór na pochodną tangensa:

( )′ ′ sin-x- sin2-x+--cos2x- sin2-x co-s2x 2 (tg x) = cosx = cos2x = co s2x + co s2x = tg x + 1.

Odpowiedź: f′(x) = 11+x2