Zadanie nr 2702022

Wybieramy losowo punktów na okręgu. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkty te leżą na jednym półokręgu.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że punkt na okręgu jednoznacznie wyznacza półokrąg, którego jest środkiem.

Kolejna obserwacja, to że punkty leżą na jednym półokręgu wtedy i tylko wtedy, gdy wyznaczone przez te punkty półokręgi mają niepustą część wspólną. Spróbujmy to uzasadnić: jeżeli punkty leżą na jednym półokręgu, to środek tego półokręgu należy do każdego z półokręgów wyznaczonych przez dane punkty. Na odwrót, jeżeli jest punktem wspólnym wszystkich półokręgów wyznaczonych przez dane punkty, to punkty te leżą na półokręgu o środku .

Powyższe obserwacje pozwalają nam sprafrazować zadanie: losujemy półokręgów, jakie jest prawdopodobieństwo, że ich część wspólna jest niepusta?

Półokręgi możemy losować następująco: losujemy średnic, a potem dla każdej ze średnic wybieramy jeden z wyznaczonych przez nie półokręgów. Pokażemy, że w tym drugim etapie, czyli przy wyborze półokręgów, interesujące nas prawdopodobieństwo otrzymania przecinających się łuków wynosi n 2n−1 (jest więc niezależne od tego jakie średnice wylosowano). To oznacza, że szukane prawdopodobieństwo wynosi 2nn−1 .

Ustalmy zatem różnych średnic i zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo wybrania półokręgów, które mają niepusty przekrój. Zauważmy, że mamy już teraz sytuację skończoną, czyli prawdopodobieństwo klasyczne! Każda średnica wyznacza dwa półokręgi, czyli

|Ω | = 2n.

Zdarzeń sprzyjających jest tyle, na ile łuków dzieli okrąg średnic, czyli . Rzeczywiście, jeżeli półokręgi mają mieć część wspólną, to musi to być jeden z tych łuków. Odwrotnie też, łatwo zobaczyć, że każdy z tych łuków jednoznacznie wyznacza półokręgów. Zatem prawdopodobieństwo wybrania przecinających się półokręgów wynosi