Zadanie nr 1697767

Oblicz całkę ∫ --dx-- 3√1+x-3 .

Rozwiązanie

Ponieważ

∫ dx 1 3√--------= x0(1 + x 3)− 3dx , 1+ x3

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

m n p x (a+ bx ) dx.

W naszej sytuacji mamy

m-+--1+ p = 1− 1-= 0 , n 3 3

więc możemy podstawić 3 −3 t = 1+ x (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

3t2dt = − 3x− 4dx,

oraz

∫ 3 − 1 ∫ 3 − 3 −1 ∫ −1 − 3 − 1 (1 + x ) 3dx = (x (x + 1 )) 3dx = x (x + 1 ) 3dx = ∫ ∫ = x 3(x−3 + 1)− 13x− 4dx = --1---⋅ 1⋅ (−t2)dt = ∫ t3 − 1 t ---------t--------- = − (t− 1)(t2 + t + 1)dt.

Rozkładamy teraz wyrażenie podcałkowe na ułamki proste

---------t---------= --A-- + -Bt-+--C-- (t − 1)(t2 + t+ 1 ) t− 1 t2 + t+ 1 t A (t2 + t+ 1) + (Bt + C )(t− 1) -------------------= -------------------------------- (t − 1)(t2 + t+ 1 ) (t− 1 )(t2 + t+ 1) t = t2(A + B) + t(A + C − B) + (A − C) ( |{ A + B = 0 A + C − B = 1 |( A − C = 0.

Łatwo stąd otrzymać, że A = C = 1,B = − 1 3 3 . Mamy więc

∫ t 1∫ ( 1 t− 1 ) − ---------2--------dt = − -- -----− -2-------- dt = (t− 1)(t + t + 1) 3 t− 1 t + t + 1 1 1 ∫ (2t+ 1 )− 3 = − 3-ln |t− 1 |+ 6- -t2 +-t+-1--dt = ∫ ( ) = − 1-ln |t− 1 |+ 1- --2t-+-1--− ----3----- dt = 3 6 t2 + t+ 1 t2 + t+ 1 1 1 1 ∫ 1 = − --ln |t− 1 |+ --ln(t2 + t+ 1) − -- -----1-----3dt = 3 6 2 (t+ 2)2 + 4 1 2 1 2 1 ∫ 1 = − --ln (t− 1) + --ln(t + t+ 1) − -- 3--2------1-2---3-dt = 6 6 2 4(√ 3t+ √3) + 4 1 t2 + t+ 1 2 ∫ 1 = --ln ----------− -- -----------------dt = 6 (t− 1)2 3 ( 2√3t + √13)2 + 1 √ -- ( ) 1- t2-+-t+--1 2- --3- 2t-+-1 = 6 ln (t− 1)2 − 3 ⋅ 2 arctg √ 3 + C = 2 √ -- ( ) = 1-ln t--+-t+--1− --3-arctg 2t√-+-1 + C. 6 (t− 1)2 3 3

Odpowiedź: 2 √ - ( ) 16 ln t(t+−t1+)12 − -33arctg 2t√+13 + C , gdzie √3------−3 t = 1 + x