/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Różniczki dwumienne

Zadanie nr 2814668

Oblicz całkę ∫ --6x--- √1−x-4dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy 2 t = x aby sprowadzić wyrażenie podcałkowe do pochodnej arcsin x .

∫ 6x || 2 || ∫ 3 √-------dx = || t = x || = √-------dt = 3arcsin t+ C = 3arcsin x2+ C . 1− x4 dt = 2xdx 1− t2

Sposób II

Ponieważ

√--6x----= 6x(1 − x 4)−12, 1 − x 4

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

xm (a+ bxn )pdx.

W naszej sytuacji mamy

m-+--1 2- 1- n + p = 4 − 2 = 0 ,

więc możemy podstawić 4 t2 = 1−x4- = x −4 − 1 x (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

2tdt = − 4x−5dx ,

oraz

∫ ∫ ∫ 4 −12 4 − 4 −12 −1 −4 − 12 6x (1− x ) dx = 6x(x (x − 1)) dx = 6x (x − 1) dx = ∫ 1 ∫ 1 = 6x4(x −4 − 1)− 2x−5dx = − 3 -2----⋅ t− 1 ⋅tdt = − 3 arctgt + C = ∘ ------- t + 1 1 − x4 = − 3arctg ---4---+ C x

 
Odpowiedź: ∘ ----- 3 arcsin x2 + C1 = − 3arctg 1−x44 + C 2 x

Wersja PDF