Zadanie nr 5136708

Oblicz całkę ∫ --dx-- 4√1+x-4 .

Rozwiązanie

Ponieważ

dx dx 1 √4-------= √4-------= x0(1 + x4)− 4dx, 1 + x 4 1 + x4

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

m n p x (a+ bx ) dx.

W naszej sytuacji mamy

m-+--1+ p = 1− 1-= 0 , n 4 4

więc możemy podstawić 4 1+x4 −4 t = -x4- = x + 1 (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

x4 = --1--- t4 − 1 − 4t3 4x3dx = --4-----2dt. (t − 1 )

Stąd

∫ ∫ ( ) −1 ∫ ( ) −1 (1 + x 4)−14dx = x −1 -1-+ 1 4 dx = x−4 1--+ 1 4 ⋅x3dx = x 4 x4 ∫ 3 ∫ 2 ∫ 2 = (t4 − 1)⋅ t− 1 ⋅-−t--dt--= − --t---dt = − -------t-------dt = (t4 − 1)2 t4 − 1 (t2 − 1)(t2 + 1) 1 ∫ ( 1 1 ) 1 1 ∫ dt = − -- 2-----+ -2---- dt = − --arctg t− -- -------------- = 2 t − 1 t( + 1 2) 2 (t − 1)(t+| 1) | 1- 1-∫ -1--- -1--- 1- 1- |t+--1| = − 2 arctgt + 4 t+ 1 − t− 1 dt = − 2 arctgt+ 4 ln ||t− 1||+ C = 4√ ------- 4√ ------- 1- --x4 +-1- 1- --x4 +-1+--x- = − 2 arctg x + 4 ln 4√ -4----- + C. x + 1− x

Odpowiedź: √4---- √4---- − 1 arctg --x4+1 + 1 ln √4x4+1+x-+ C 2 x 4 x4+1−x