/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Z pierwiastkami/Różniczki dwumienne

Zadanie nr 5384954

Oblicz całkę ∫ 3√ 1+√4x- --√x---dx .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

∘3----√4-- --1√+---x-dx = x−12(1 + x 14)13dx , x

więc mamy do czynienia z różniczką dwumienną postaci

xm (a+ bxn )pdx.

W naszej sytuacji mamy

m + 1 12 --n--- = 1-= 2, 4

więc możemy podstawić 3 1 t = 1+ x4 (jest to ogólna metoda całkowania różniczek dwumiennych). Mamy wtedy

3t2dt = 1x −34dx , 4

oraz

∫ −1 1 1 ∫ 1 1 1 −3 ∫ 3 2 x 2(1 + x 4)3dx = x 4(1+ x4)3x 4dx = (t − 1 )⋅t⋅ 12t dt = ∫ = 12 (t6 − t3)dt = 12-t7 − 3t4 + C = ∘ ----------- 7∘ ----------- 12-3 √4--7 3 √4-- 4 = 7 (1 + x) − 3 (1 + x ) + C .

 
Odpowiedź: ∘ -----√----- ∘ -----√----- 127 3 (1+ 4 x)7 − 3 3 (1 + 4x)4 + C

Wersja PDF