/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 2680551

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ --1+-sinx--- sinx(1+cosx)dx .

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie uniwersalne x t = tg 2 .

∫ || x -2-- || ---1-+-sinx----dx = || t = tg 2 2 dx = 1+t2dt||= sin x(1 + cos x) |cos x = 1−t2 sinx = -2t2| ∫ 2t 1∫+t 1+t ---1-+--1+t2---- --2--- ----1+--t2-+-2t--- = -2t- 1−t2 ⋅ 1+ t2 dt = t(1 + t2 + 1− t2) dt = 1+t 2(1 + 1+t2) ∫ t2 + 2t+ 1 ∫ ( 1 1 ) = -----------dt = -t+ 1+ -- dt = 2t 2 2t 1-2 1- 1- 2 x x- 1- || x-|| = 4t + t+ 2 ln |t|+ C = 4 tg 2 + tg 2 + 2 ln |tg 2 |+ C .

 
Odpowiedź: 1 x x 1 | x | 4 tg22 + tg 2 + 2 ln |tg-2|+ C

Wersja PDF