/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 5079105

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ ---dx---- sin2xcosxdx .

Rozwiązanie

Mnożymy licznik i mianownik wyrażenia podcałkowego przez cos x tak, aby móc podstawić t = sin x .

∫ ∫ ∫ ----dx-----dx = ---cos-x----dx = ------cos-x------dx = sin2 xco sx sin 2x cos2x sin2x (1− sin 2x) || t = sin x || ∫ dt = || || = -2------2-dt. dt = co sxdx t (1 − t )

Otrzymaliśmy całkę z funkcji wymiernej zmiennej t .

∫ ∫ ( ) ∫ ----dt---- 1- --1--- 1- --dt-- t2(1 − t2)dt = t2 + 1− t2 dt = − t + 1 − t2 = ∫ ∫ ( ) = − 1+ ------dt------ = − 1-+ 1- --1--+ --1-- dt = t (1 − t)(1 + t) t 2 1 − t 1 + t 1 1 1 1 1 ||1 + t|| = − -− --ln |1− t|+ --ln|1 + t|+ C = − --+ -ln |-----|+ C. t 2 2 t 2 |1 − t|

Zatem

| | ∫ dx 1 1 |1 + sin x| ---2-------dx = − sin-x + 2-ln||1-−-sin-x||+ C sin xco sx

 
Odpowiedź: 1 1 ||1+sin x|| − sin-x + 2 ln |1−sin-x|+ C

Wersja PDF