/Studia/Analiza/Całki nieoznaczone/Trygonometryczne/Z ułamka

Zadanie nr 7690416

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz całkę ∫ --dx-- 2+cosx .

Rozwiązanie

Stosujemy podstawienie uniwersalne x t = tg 2 .

∫ || x -2-- || ---dx---- = ||t = tg 2 dx = 1+2t 2dt||= 2 + cos x | cosx = 1−t2 | ∫ 12+t ∫ -------1-+-t-------- --2--- --dt-- = 2(1 + t2)+ (1− t2) ⋅ 1+ t2dt = 2 t2 + 3 = x = √2-a rc tg t√g-2 + C . 3 3

W ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze wzoru

∫ dx 1 x --2----= √---arctg √---+ C, dla k > 0. x + k k k

 
Odpowiedź: √2-arctg t√g x2 + C 3 3

Wersja PDF